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HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

7 febrero, 2010

Grigori Perelman y la Conjetura de

Poincaré

Tomado de Wikipedia


Grigori “Grisha” Yákovlevich Perelmán (en ruso: Григорий Яковлевич Перельман, en hebreo: גריגורי פרלמן), nacido el 13 de junio de 1966 en Leningrado, URSS (ahora San Petersburgo, Rusia), es un matemático ruso que ha hecho históricas contribuciones a la geometría riemanniana y la topología geométrica. En particular, ha demostrado la conjetura de geometrización de Thurston. Si esto es así, se resuelve afirmativamente la famosa conjetura de Poincaré, propuesta en 1904 y considerada uno de los problemas abiertos más importantes y difíciles en matemáticas.

En agosto de 2006, se le otorgó a Perelmán la Medalla Fields[1] por “sus contribuciones a la geometría y sus ideas revolucionarias en la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci”. La Medalla Fields es ampliamente considerada como el mayor honor que puede recibir un matemático. Sin embargo, él declino tanto el premio como asistir al congreso.

Biografía

Grigori Perelmán nació en Leningrado (ahora San Petersburgo) el 13 de junio de 1966 en el seno de una familia judia. Su educación matemática temprana ocurrió en el Escuela secundaria 239 de Leningrado, una escuela especializada con programas de matemáticas y física avanzadas. En 1982, como miembro del equipo de la URSS compitiendo en la Olimpiada Internacional de Matemática, una competición internacional para estudiantes de bachillerato, ganó una medalla de oro tras alcanzar un puntaje perfecto.[2] A principios de los 80, consiguió la puntuación más alta en la prestigiosa organización para personas con elevado coeficiente intelectual Mensa. Al final de los años ochenta, Perelmán prosiguió a adquirir un grado en Candidato de Ciencia (el equivalente ruso del doctorado) en la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad del Estado de Leningrado, una de las universidades líderes de la ex-Unión Soviética. Su disertación se llamó “Superficies en silla en espacios euclídeos” (ver citas más abajo). Era también un talentoso violinista y jugaba tenis de mesa.[3]

Después de la graduación, Perelmán comenzó a trabajar en Leningrado en el renombrado Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia Rusa de las Ciencias. Sus asesores en el Instituto Steklov fueron Aleksandr Danílovich Aleksándrov y Yuri Dmitrievich Burago. Al final de los ochenta y principios de los noventa, Perelmán tenía puestos en varias universidades de EE. UU. En 1992, fue invitado a pasar sendos semestres en la Universidad de Nueva York y en la Universidad de Stony Brook. De allí, aceptó una beca de dos años en la Universidad de California, Berkeley en 1993. Volvió al Instituto Steklov en el verano de 1995.

Conjeturas de Geometrización y de Poincaré

Hasta el otoño de 2002, Perelmán era mejor conocido por su trabajo en teoremas de comparación en geometría riemanniana. Entre sus notables logros estaba la demostración de la conjetura de Soul.

El problema

Artículo principal: Conjetura de Poincaré

La conjetura de Poincaré, propuesta por el matemático francés Henri Poincaré en 1904, es el problema abierto más famoso de la topología. Vagamente hablando, la conjetura indica que si una variedad tridimensional cerrada es suficientemente similar a una esfera en el sentido de que cada bucle en la variedad se puede transformar en un punto, entonces ella es realmente sólo una esfera tridimensional. Por algún tiempo se ha sabido que el resultado análogo es cierto en dimensiones mayores; sin embargo, el caso de variedades tridimensionales ha resultado ser el más difícil de todos porque, hablando crudamente, cuando se manipula topológicamente una variedad tridimensional, hay demasiado pocas dimensiones para mover “regiones problemáticas” fuera del camino sin interferir con algo más.

En 1999, el Clay Mathematics Institute anunció los Problemas Premiados del Milenio – un premio de un millón de dólares por la demostración de alguna de varias conjeturas, incluyendo la de Poincaré. Es aceptado por todos que una demostración exitosa de la conjetura de Poincaré constituiría un hito en la historia de las matemáticas, completamente comparable con la demostración de Andrew Wiles del Último Teorema de Fermat, pero posiblemente de incluso mayor alcance.

La demostración de Perelmán

En un esfera-2 ordinaria, cualquier lazo se puede apretar continuamente a un punto en la superficie. ¿Esta condición caracteriza la esfera-2? La respuesta es sí, y ha sido conocida por mucho tiempo. La conjetura de Poincaré hace la misma pregunta la más difícil de visualizar esfera-3. Grigori Perelmán probó eso de nuevo, la respuesta es sí.

En noviembre de 2002, Perelmán colocó en el arXiv el primero de una serie de artículos de libre acceso en los cuales afirmó haber descrito una demostración de la conjetura de geometrización, un resultado que incluye la conjetura de Poincaré como un caso particular.

Perelmán modificó el programa de Richard Hamilton para la demostración de la conjetura, en el cual la idea central era la noción del flujo de Ricci. La idea básica de Hamilton es formular un “proceso dinámico” en el que una variedad tridimensional dada se transforme geométricamente de manera que este proceso de distorsión sea gobernado por una ecuación diferencial análoga a la ecuación del calor. La ecuación del calor describe el comportamiento de cantidades escalares como la temperatura; ella afirma que las concentraciones de temperatura elevada se dispersarán hasta que se alcance una temperatura uniforme a lo largo del objeto. Similarmente, el flujo de Ricci describe el comportamiento de una cantidad tensorial, el tensor de curvatura de Ricci. La esperanza de Hamilton era que, bajo el flujo de Ricci, las concentraciones de gran curvatura se dispersaran hasta alcanzar una curvatura uniforme sobre toda la variedad tridimensional. Si esto es así, comenzando con cualquier variedad tridimensional y se usa la magia del flujo de Ricci, finalmente se obtendría cierta “forma normal”. De acuerdo con William Thurston, esta forma normal debe ser una entre un pequeño número de posibilidades, cada una con un diferente sabor de geometría llamado geometrías de modelos de Thurston.

Esto es similar a formular un proceso dinámico que “perturba” gradualmente una matriz cuadrada dada y que con toda certeza resultará luego de un tiempo finito en su forma canónica racional.

La idea de Hamilton había atraído mucha atención pero nadie había logrado demostrar que el proceso no se “colgaría” desarrollando “singularidades” hasta que los artículos de Perelmán bosquejaron un programa para superar estos obstáculos. De acuerdo a Perelmán, una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado “flujo de Ricci con cirugía”, puede remover sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de manera controlada.

Se sabe que las singularidades (incluyendo las que ocurren, hablando vagamente, luego de que el flujo se haya dado durante una cantidad infinita de tiempo) deben ocurrir en muchos casos. Sin embargo, los matemáticos esperan que, asumiendo que la conjetura de geometrización sea cierta, cualquier singularidad que se desarrolle en un tiempo finito se está esencialmente “apretando” a lo largo de ciertas esferas que corresponden a la descomposición en primos de la 3-variedad. Si esto es así, cualesquiera singularidades de “tiempo infinito” deben resultar de ciertas piezas colapsantes de la descomposición JSJ. El trabajo de Perelmán demuestra aparentemente esta afirmación y así demuestra la conjetura de geometrización.

Verificación

Desde 2003, el programa de Perelmán ha atraído cada vez más atención de la comunidad matemática. En abril de 2003, aceptó una invitación para visitar el Instituto Tecnológico de Massachussetts, la Universidad de Princeton, la Universidad de Stony Brook, la Universidad Columbia y la Universidad Harvard, donde dio una serie de charlas sobre su trabajo.[2] Sin embargo, luego de su regreso a Rusia, se ha dicho que ha dejado gradualmente de responder a los correos electrónicos de sus colegas.

El 25 de mayo de 2006, Bruce Kleiner y John Lott, ambos de la Universidad de Míchigan, colocaron un artículo en el arXiv que afirma agregar los detalles de la demostración de Perelmán de la conjetura de geometrización.[4]

En junio de 2006, la Revista Asiática de Matemáticas (Asian Journal of Mathematics) publicó un artículo de Xi-Ping Zhu de la Universidad de Sun Yat-sen en China y Huai-Dong Cao de la Universidad de Lehigh en Pensilvania, EE. UU., que afirma dar una demostración completa de las conjeturas de Poincaré y geometrización.[5] De acuerdo al medallista Fields Shing-Tung Yau, este artículo tenía como objetivo “dar los últimos toques a la demostración completa de la conjetura de Poincaré”.[6]

La verdadera magnitud de la contribución de Zhu y Cao, así como la ética de la intervención de Yau, han sido controvertidas. Yau es tanto editor en jefe de la Revista Asiática de Matemáticas como el asesor doctoral de Cao.[7] Sylvia Nasar y David Gruber, en un escrito para el The New Yorker, han sugerido que Yau intentaba ser asociado, directa o indirectamente, con la demostración de la conjetura y presionó a los editores de la revista para aceptar el artículo de Zhu y Cao de manera inusualmente rápida.[2] Otros se han preguntado si “el poco tiempo entre la fecha de presentación… y la fecha de aceptación para publicación” para la revista fue suficiente para permitir que el artículo fuera “revisado de manera seria”. Sin embargo, en relación a la conjetura de Poincaré, los autores también revelaron una acusación aparentemente no reportada en la prensa antes de la aparición (en línea) de su artículo [3]. Ellos escribieron:

El 13 de abril de este año, los treinta y un matemáticos del consejo editorial de la Revista Asiática de Matemáticas recibieron un breve correo electrónico de Yau y del co-editor de la revista informándoles que tenían tres días para comentar sobre un artículo de Xi-Ping Zhu y Huai-Dong Cao titulado “The Hamilton-Perelmán Theory of Ricci Flow: The Poincaré and Geometrization Conjectures” que Yau planeaba publicar en la revista. El correo no incluía una copia del artículo, reportes de árbitros, o un resumen. Por lo menos un miembro del consejo pidió ver el artículo pero se le dijo que no estaba disponible.

A la fecha, ningún miembro del consejo editorial de la RAM ha disputado este hecho ni tampoco ha habido explicación al cambio de título a: “A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures: Application of the Hamilton-Perelmán Theory of the Ricci Flow.” Yau respondió diciendo que artículo había sido arbitrado de la manera usual y que la revista “tiene estándares muy altos”.[8] Cao ha dicho, “Hamilton y Perelmán han hecho los trabajos más fundamentales. Ellos son los gigantes y nuestros héroes. En mi mente no hay ninguna duda de que Perelmán merece la medalla Fields. Nosotros sólo seguimos las huellas de Hamilton y Perelmán y explicamos los detalles. Espero que todo el que lea nuestro artículo esté de acuerdo en que hemos dado justa cuenta”. Cao defendió también a Yau diciendo que Yau había anotado que Perelmán merecía la medalla Fields, añadieron los reporteros de The New Yorker.[9]

En julio de 2006, John Morgan de la Universidad de Columbia y Gang Tian del Instituto Tecnológico de Massachussetts colocaron un artículo en el arXiv titulado, “Ricci Flow and the Poincaré Conjecture”. En este artículo, ellos afirman que proporcionan una “demostración detallada de la conjetura de Poincaré”.[10] El 24 de agosto de 2006, Morgan dio una charla en el ICM de Madrid sobre la conjetura de Poincaré.[11]

El trabajo anterior parece mostrar que el bosquejo de Perelmán puede de hecho expandirse a una demostración completa de la conjetura de geometrización.

Dennis Overbye del New York Times ha dicho que “hay una creciente sensación, un optimismo cauto de que los matemáticos hayan alcanzado finalmente un hito no sólo para las matemáticas sino para el pensamiento humano”.[12] Nigel Hitchin, profesor de matemáticas en la Universidad de Oxford, ha dicho que “pienso que por muchos meses o incluso años la gente ha estado diciendo que se convencieron por el argumento. Pienso que es un trato hecho.”[13]

La Medalla Fields y el Premio del Milenio

En mayo de 2006, un comité de nueve matemáticos votaron para premiar a Perelmán con una Medalla Fields por su trabajo en la conjetura de Poincaré.[2] La Medalla Fields es el mayor premio en matemáticas; dos a cuatro medallas se conceden cada cuatro años.

Sir John Ball, presidente de la Unión Matemática Internacional, se dirigió a Perelmán en San Petersburgo en junio de 2006 para persuadirlo a que aceptara el premio. Luego de 10 horas de persuasión durante dos días, se rindió. Dos semanas más tarde, Perelmán resumió la conversación así: “Él me propuso tres alternativas: acepta y ven; acepta y no vengas, y te enviaremos la medalla luego; tercero, no aceptes ni vengas. Desde el principio le dije que había escogido la tercera.” Siguió diciendo que el premio “era completamente irrelevante para mí. Todo el mundo entiende que si la demostración es correcta entonces no se necesita ningún otro reconocimiento”.[2]

El 22 de agosto de 2006, se le ofreció públicamente a Perelmán la medalla en el Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid, “por sus contribuciones a la geometría y sus ideas revolucionarias en la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci”.[14] No asistió a la ceremonia y declinó la medalla.[15] [16]

Él había rechazado previamente un prestigioso premio de la Sociedad Matemática Europea[16] presuntamente diciendo que sentía que el comité del premio no estaba calificado para evaluar su trabajo, incluso positivamente.[13]

Perelmán también debe recibir una parte del premio del milenio (probablemente compartido con Richard Hamilton). Aunque no ha buscado una publicación formal de su demostración en una revista de matemáticas con revisión por pares, como requieren las reglas del premio, muchos matemáticos piensan que el escrutinio al que se ha visto sujeto su bosquejo excede la revisión implícita en una revisión por pares normal.[cita requerida] El Clay Mathematics Institute ha dicho explícitamente que el consejo que concede el premio puede cambiar los requerimientos formales en cuyo caso Perelmán sería elegible para recibir parte del premio.[cita requerida] Perelmán ha dicho que “no voy a decidir si acepto el premio hasta que sea ofrecido”.[2]

Retiro de las matemáticas

Desde la primavera de 2003, Perelmán no trabaja en el Instituto Steklov.[3] Se dice que sus amigos han afirmado que actualmente encuentra las matemáticas un tema doloroso de discusión; algunos dicen incluso que ha abandonado las matemáticas por completo.[17] De acuerdo a una entrevista reciente, Perelmán está actualmente desempleado, viviendo con su madre en San Petersburgo.[3] En realidad no está decepcionado de las matemáticas en sí, sino más bien, entrañando en la filosofía galileana “El humilde razonamiento de uno vale más que la autoridad de miles”; así por tanto aislándose, estudiando y sin estar sometido a autoridades arbitrarias no matemáticas.[cita requerida]

Aunque Perelmán dice en un artículo en The New Yorker que está decepcionado de los estándares éticos del campo de las matemáticas, el artículo implica que Perelmán se refiere particularmente a los esfuerzos de Yau por aminorar su papel en la demostración y exaltar el trabajo de Cao y Zhu. Perelmán ha dicho que “no puedo decir que estoy indignado. Otras personas hacen cosas peores. Por supuesto, hay muchos matemáticos que son más o menos honestos. Pero de ellos, casi todos son conformistas. Son más o menos honestos pero toleran a quienes no son honestos“.[2] También ha dicho que “no es la gente que rompe los estándares éticos quienes se consideran extraños. Es gente como yo quienes son aislados“.[2]

Esto, combinado con la posibilidad de ser premiado con una medalla Fields, hizo que renunciara a la matemática profesional. Ha dicho que “mientras no era conspicuo, tenía elección. Aun de hacer algo feo” (un escándalo sobre la falta de integridad de la comunidad matemática) “o, si no hiciera esta clase de cosas, de ser tratado como una mascota. Ahora, cuando me he vuelto una persona muy conspicua, no puedo ser una mascota y decir nada. Es por esto que tuve que renunciar“.[2]

El profesor Marcus du Sautoy de la Universidad de Oxford ha dicho que “se ha aislado de cierta manera de la comunidad matemática. Se ha desilusionado de las matemáticas, lo cual es muy lamentable. No está interesado en el dinero. El gran premio para él es demostrar su teorema.[13] Actualmente está retirado de las matemáticas. Las últimas noticias que se tienen de él es una foto suya tomada el 20 de junio de 2007 en el metro de San Petersburgo.[18]

Véase también

Clay Mathematics Institute

Bibliografía

  • Перельман, Григорий Яковлевич (1990). Седловые поверхности в евклидовых пространствах:Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук (en Ruso). Ленинградский Государственный Университет. (Disertación de Perelmán)
  • Perelmán, G.; Yu. Burago, M. Gromov (1992). «Aleksandrov spaces with curvatures bounded below» Russian Math Surveys. Vol. 47. n.º 2. pp. 1-58.
  • Perelmán, G. (1994). «Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll» J. Differential Geom.. Vol. 40. pp. 209-212.
  • Perelmán, G. (1994). «Elements of Morse theory on Aleksandrov spaces» St. Petersbg. Math. J.. Vol. 5. n.º 1. pp. 205-213.
  • Perelmán, G.Ya.; Petrunin, A.M. (1994). «Extremal subsets in Alexandrov spaces and the generalized Liberman theorem» St. Petersburg Math. J.. Vol. 5. n.º 1. pp. 215-227.

Demostración de Perelmán de la conjetura de geometrización:

Notas

1.  «Medallas Fields 2006». Consultado el 2006-04-30.

2.  ↑ a b c d e f g h i Naser and Gruber.

3.  ↑ a b c Lobastova and Hirsh

4.  Kleiner and Lott.

5.  Cao and Zhu.

6.  «Chinese mathematicians solve global puzzle» China View (Xinhua).

7.  Shing-Tung Yau en el sitio web del Mathematics Genealogy Project, un servicio del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Dakota del Norte.

8.  Jackson.

9.  «Interview with Huai-Dong Cao» ICM2006 Daily News.

  1. Morgan and Tian.
  2. Schedule of the scientifc program of the ICM 2006
  3. Overbye.
  4. a b c Randerson.
  5. «Fields Medal – Grigory Perelmán» Congreso Internacional de Matemáticos 2006.
  6. Mullins.
  7. a b «Maths genius declines top prize» BBC News.
  8. цКЮБМШЕ МНБНЯРХ :: Top.rbc.ru
  9. Perelmán en el metro (en inglés)

Referencias

  • Anderson, M.T. 2005. Singularities of the Ricci flow. Encyclopedia of Mathematical Physics, Elsevier. (Exposición detallada de las ideas de Perelman que llevan a completar la clasificación de 3-variedades)

Enlaces externos

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